Mate 3024 Repaso 2
1) Escribe la definición de una función exponencial con base b. Contestación:2) Indica las propiedades de la función exponencial con base b. Contestación:Lee el libro.
3) Sea f(x) = 2x y considera la función T(x) = 2 - f(x -1).Dibuja la gráfica de alguna función exponencial y derívalas de ahí.
3)a. Traza la gráfica de T(x): Contestación:
3) b. Indica el dominio de T(x): Contestación:
El conjunto de todos los números reales.
3) c. Indica el campo de valores de T(x): Contestación:
El conjunto de todos los números reales menores de 2.
3) d. Encuentra la ecuación de la asíntota a la gráfica de T(x): Contestación:
y = 2.
3) e. Encuentra las coordenadas de los cortes de la gráfica en los ejes: Contestación:
4) Define el número real e, y traza la gráfica de ex^2 . Contestación:x = 2, y = 3/2
5) Considera la función G(x) = 3x - 2e = lim ( 1 + 1/x)x cuando x tiende a ∞.
5) a. Encuentra el Dominio de G(x): Contestación:
El conjunto de todos los números reales.
5) b. Encuentra la ecuación de la asíntota de G(x): Contestación:
Observa el comportamiento de G(x) a medida que x tiene a positivo infinito y a negativo infinito. Si x tiene a positivo infinito, G(x) también. Cuando x tiende a negativo infinito, G(x) tiende a cero. La ecuación de la asíntota es y = 0.
5) c. Encuentra el Campo de Valores de G(x): Contestación:
El conjunto de todos los números reales positivos.
5) d. Demuestra que G(x) es una función inyectiva (uno-uno): Contestación:
Suponga que a, b son dos números reales distintos. Suponga además que G(a) = G(b). Se resuelve esta última ecuación:
G(a) = 3a - 2 = 3b - 2 = G(b). De esa ecuación se obtiene que
a - 2 = b - 2 y de ahí, que a tiene necesariamente que ser igual a b:
a = b.
Esta última conclusión contradice la premisa de que a, b sean distintos. Por lo tanto si a y b son distintos, G(a) tiene que ser distinto de G(b) (pues de otro modo tendríamos la contradicción que encontramos), lo que significa que la función es inyectiva.
5) e. Encuentra la fórmula de la función inversa de G(x): Contestación:
Es necesario resolver la ecuación implícita x = 3y - 2 en términos de y. Toma el logaritmo base 3 en ambos lados y se obtiene que log3(x) = y - 2. de donde y = G -1(x) = 2 + log3(x) .
5) f. Traza la gráfica de G(x) y G -1(x) : Contestación:
7) Considera la función g(x) = log2 (2 - 3x)Dibuja la gráfica de alguna función logarítmica y derívalas de ahí.
7) a. Indica el dominio de g(x). Contestación
Es el conjunto de todos los números reales x tal que 2 - 3x > 0. Es decir,
x < 2/3.
7) b. Indica el campo de valores de g(x). Contestación
Es el conjunto de todos los números reales.
7) c. Encuentra la ecuación de la asíntota a la gráfica de g(x). Contestación
Es x = 2/3.
7) d. Halla una fórmula para la función inversa, g-1(x) y traza las gráficas de g(x) y g-1(x) en el mismo sistema de coordenadas. Contestación
8) Si logb( t ) = 0.2, logb( r ) = 0.4, logb( s ) = 0.5, evalua las siguientes expresiones (sin calculadora):Es necesario resolver la ecuación implícita x = log2 (2 - 3y) por la variable y. Usando ambos lados como exponentes de la base 2 se obtiene
2x = 2 - 3y. Al resolver por y, se obtiene el inverso, y = g-1(x) = (2 - 2x)/3.
8) a. logb{ t³[ 4√(r³) ] } Contestación
= logb{ t³} + logb{ 4√(r³) } = 3logb{ t } + 3logb{ r }/4 = 3(0.2) + 3(0.4)/4
= 0.6 + 0.3 = 0.9.
8) b. logb{ s²} ÷ logb{ 3√(r) }Contestación
= 2logb{ s } ÷ logb{ r }/3 = 2(0.5) ÷ 0.4/3 = 3 / 0.4 = 7.5
8) c. (logb{ r² })² Contestación
= (2logb{ r })² = 4 (0.4)² = 0.64.
8) d. logb{ r } ÷ logb{ t } Contestación
= 0.4 ÷ 0.2 = 2.
8) e. logb{ s / t } Contestación
9) Simplifica las siguientes expresiones:= logb{ s } - logb{ t } = 0.5 - 0.2 = 0.3.
9) a. e ln2 - ln3 Contestación
= e ln2 × e- ln3 = 2 × 3-1 = 2/3.
9) b. log10( 3 ) log9( 10 ) Contestación
10) Halla el conjunto solución sobre los reales de las siguientes ecuaciones:= log10( 3 ) × log10( 10 ) / log10( 9 ) = log10( 3 ) × 1 / log10( 9 )
= log10( 3 ) ÷ log10( 3² ) = log10( 3 ) ÷ [2log10( 3 )] = ½ .
10) a. log4{ x } + log4{ x - 3 } = 1 Contestación
Esta ecuación es equivalente a la ecuación:
4[log4{ x } + log4{ x - 3 }] = 4¹, elevando ambos lados al exponente 4. Usa las propiedades de la función exponencial para obtener
4log4{ x } 4 log4{ x - 3 } = 4, de ahi se obtiene que
x ( x - 3) = 4. Esta es una ecuación cuadrática en x,
x² - 3x - 4 = 0, que se factoriza de la siguiente forma
(x - 4)(x - 3) = 0. Esta ecuación tiene dos soluciones x = 3 o x = 4.Sustituye estos dos valores en la ecuación original para verificar. El resultado x = 3 no es una solución de la ecuación original, pues se obtendría que log4{ 3 } + log4{ 3 - 3 } = log4{ 3 } + log4{ 0 }. Pero la función logarítmica no esta definida para x = 0. Asi que la única solución es x = 4.
10) b. ln (x + 1) - ln(x) = 2 Contestación
Esta ecuación es equivalente a la ecuación
ln [(x + 1)/x] = 2. Elevando ambos lados a la e, se obtiene
e ln[(x + 1)/x] = e² . Usa las propiedades de la función exponencial para obtener
(x + 1) / x = e². Multiplica por x en ambos lados,
x + 1 = xe². Esta ecuación es equivalente a
x( 1 - e²) = -1, la que resuelve por x
x = 1 /( e² - 1 ).Sustituye este valor en la ecuación original para cotejar el resultado:
ln (1 /( e² - 1 ) + 1) - ln(1 /( e² - 1 ))
= ln (e² /( e² - 1 )) + ln(( e² - 1 ))
= ln [ ( e² - 1 ) × e² /( e² - 1 )]
= ln ( e² ) = 2ln ( e ) = 2.
10) c. 31 - 2x = 4 Contestación
Toma el logaritmo base 3 en ambos lados de la ecuación
1 - 2x = log3 ( 4 ), la que se resuelve por x,
x = [1 - log3 ( 4 )] / 2.
10) d. loga{ x - 1} - loga{ x + 6 } = loga{ x - 2} - loga{ x + 3 }Contestación
Usa las reglas de logaritmo para obtener
loga{ (x - 1) / (x + 6) } = loga{ (x - 2) / ( x + 3) }, elevando la base a en cada uno de los lados de la ecuación, se obtiene
(x - 1) / (x + 6) } = (x - 2) / ( x + 3). Multiplica ambos lados de la ecuación por los denominadores (multiplica cruzado)
(x - 1)( x + 3) = (x - 2)(x + 6). Expande ahora cada lado de la ecuación
x² - 4x + 3 = x² + 4x -12. Resta x² en ambos lados y resuelve por x,
x = 15 / 8.
10) e. {log2 (x + 3)}²- 3{log2 (x + 3)} + 2 = 0.Contestación
11) Traza las gráficas de f(x) = log2 ( x² ) y de g(x) = 2log2 ( x ) .Esta ecuación es una ecuación cuadrática equivalente a
y²- 3y + 2 = 0, la que factoriza
(y - 2)(y - 1) = 0. Esta tiene dos soluciones, y = 2 o y = 1, es decir
log2 (x + 3) = 2 o log2 (x + 3) = 1.La primera ecuación log2 (x + 3) = 2 es equivalente a x + 3 = 4, o x = 1. La segunda solución es
log2 (x + 3) = 1, equivalente a
x +3 = 2, o x = -1.
Las soluciones de la ecuación original son x = 1 o x = -1.
¿Para qué valores de x, f( x ) = g( x )? Contestación
12) Si f(x) = e2^(x-1) y g(x) = ln (x), halla una fórmula para la función g º f y traza su gráfica.El logaritmo esta definido solo para valores positivos de su argumento.
Si x ≠ 0, entonces x² > 0, por lo tanto el dominio de log2 ( x² ) es
{x | x ≠ 0}, mientras que el dominio de log2 ( x ) es {x | x > 0}.
Las funciones son iguales solo en {x | x > 0}.
Indica el dominio de g º f. Contestación
g º f (x) = g(f(x)) = ln (e 2^(x-1)) = 2x - 1. Su dominio es el conjunto de todos los números reales.
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2000-
2009
Pedro Juan Rodríguez Esquerdo PhD, JD |