Edustatspr Header Logo Menu
Busca en este espacio:

Examen Parcial (100)

Pruebas de hipótesis e intervalos de confianza

Puedes usar tu calculadora y fotocopias de las tablas de la distribución normal y t. Muestra todo tu trabajo. Escribe e identifica claramente tu contestación. Sé breve.

I. (15) Prueba la hipótesis: H0 : μ = 120 versus Ha : μ > 120 al nivel de significancia de 2.5%. Una muestra aleatoria de 81 observaciones produjo una media de 123.5 y una desviación estándar de 15. Ver

  1. No sabemos si la distribución de las observaciones es normal o no. Desconocemos la desviación estándar poblacional (al leer vemos que las 81 observaciones produjeron una ... desviación estándar de 15). La prueba t aplica en estas situaciones, pues tenemos un número grande (81) de observaciones y la prueba es robusta contra desviaciones de la normalidad. Así tenemos que:
  2. Rechazamos H0 al nivel de significancia del .025 si el valor de la estadística prueba t es mayor que t.025;80 = 1.99. Este último valor se encuentra en la tabla y la zona de rechazo es: t > t.025;80 = 1.99, cónsona con la hipótesis alternativa.
  3. El valor de la estadística prueba es = (123.5 - 120) ÷ (15 ÷ sqrt(81)) = 3.5 ÷ (5 ÷ 3) = 2.1.
  4. Como el valor de la estadística prueba es t = 2.1 > t.025;80 = 1.99, rechazamos la hipótesis nula de que la media poblacional es 120. Concluimos, al nivel de significancia del 2.5% que la media poblacional es mayor de 120.

II. (15) Para probar la hipótesis H0 :μ = 40 versus Ha : μ > 40 se tomó una muestra aleatoria de 64 observaciones que produjo una media de 38.4 y una desviación estándar de 6. Determina el valor p de la prueba y usa ese valor para determinar si debes rechazar la hipótesis nula al nivel de significancia del 5%. Ver

  1. Al igual que en el caso anterior, no sabemos si la distribución de las observaciones es normal o no. Desconocemos la desviación estándar poblacional (al leer vemos que las 64 observaciones produjeron una ... desviación estándar de 6). La prueba t aplica en estas situaciones, pues tenemos un número grande (64) de observaciones y la prueba es robusta contra desviaciones de la normalidad. Así tenemos que:
  2. En este caso rechazamos H0 al nivel de significancia del .05 si el valor p es menor que .05.
  3. Para calcular el valor p es necesario calcular el valor de la estadística prueba t0 y buscar la probabilidad: P( T > t0 ) cuando T es una variable aleatoria con distribución t con 63 grados de libertad. La tabla de la distribución t no se presta fácilmente para buscar ese valor, así que la aproximamos por la distribución normal estándar y buscamos entonces P( Z > t0 ), donde
    Z ~ N(0,1).
  4. El valor de la estadística prueba es = (38.4 - 40) ÷ (6÷ sqrt(64)) = -1.6 ÷ (3÷ 4) = -2.13.
  5. Ahora buscamos en la tabla de la distribución estándar normal P( Z > -2.13 ), donde Z ~ N(0,1). Por simetría sabemos que
    P( Z > -2.13 ) = P( Z < 2.13 ) = .9834.
  6. Como el valor p = .9834 > .05 no podemos rechazar la hipótesis nula al nivel de significancia del 5%. Un valor p tan grande significa que observamos una media muestral que es consistente con la hipótesis nula, esencialmente evidencia en contra de la hipótesis alternativa. Valores como el observado ocurren con mucha frecuencia cuando la hipótesis nula es cierta, por lo que no hay evidencia para descartarla.

 

III. Una compañía produce arandelas que se supone tengan un diámetro promedio de 2.500 centímetros, según requerido por el comprador. Un equipo de ingenieros examina la producción rutinariamente para velar que se cumpla con las especificaciones. Si encuentran que las arandelas no cumplen con las especificaciones establecidas, las máquinas que las producen son ajustadas. De datos acumulados anteriormente, saben que la desviación estándar del diámetro de una arandela es de .05 centímetros. Ellos seleccionan una muestra de 100 arandelas de un lote producido en la fábrica y encuentran con que el diámetro promedio es de 2.510 centímetros.

a. (10) Prueba la hipótesis nula de que el diámetro promedio es efectivamente 2.500 versus la hipótesis alternativa pertinente al nivel de significancia del 5%. ¿Se deben ajustar las máquinas?

b. (10) Construye un intervalo de confianza del 99% para el diámetro promedio verdadero de las arandelas.

IV) (10) Una población normal tiene una varianza de 81. ¿Cúantas observaciones debemos tomar para obtener un intervalo de confianza para la media de nivel .95 y con margen de error de 1.5 unidades?

V) (20) El Departamento de Asuntos del Consumidor (DACO) desea saber si hay alguna diferencia significativa en la cantidad promedio de cafeina en dos marcas de café. DACO tomó una muestra de 15 bolsas de café La Montaña y encontró que el promedio de la cantidad de cafeina en esta muestra era de 80 miligramos por bolsa y la desviación estándar era de 5 miligramos. Otra muestra de 12 bolsitas de café El Monte produjo un promedio de la cantidad de cafeina en la muestra de 77 miligramos por bolsa y una desviación estándar de 6 miligramos. Efectúa la prueba de hipótesis de DACO al nivel de significancia del 5%.

VI) (20) En la biblioteca universitaria se acostumbra hacer un inventario completo de los libros en sus anaqueles una vez al año. Debido a limitaciones de presupuesto, la bibliotecaria cree que se debe posponer el inventario si la proporción verdadera (p) de libros mal anaquelados o que faltan en la biblioteca es pequeña, menor de .02. Ella decide seleccionar una muestra de 800 tarjetas en el fichero de la colección de libros y encuentra una proporción de f = .015 libros que fueron mal anaquelados o faltaban.

Bajo estas condiciones, la proporción de libros en la muestra que están mal anaquelados, f, tiene una distribución aproximadamente normal con media p y varianza .

Prueba la hipótesis H0 : p = .02 contra Ha : p < .02 al nivel de significancia de 1%. ¿Se debe efectuar el inventario completo?
Creative Commons License Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons