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Mate 3026

Examen Parcial (135)

Muestra todo tu trabajo. Escribe e identifica claramente tu contestación. Provee tu contestación refiriéndote específicamente al problema que contestas y no a la definición general. Sé breve.

 I. (30) Considera las siguientes medidas: media, mediana, moda, primera cuartila, tercera cuartila, amplitud, desviación estándar, varianza, valor estándar, desviación absoluta media. Indica cual o cuales de estas medidas tienen las propiedades que se indican abajo:

  1. Es una medida de distancia promedio de los valores observados a su media.
    • Ver Desviación estándar. Desviación absoluta media
  2. Dividen el conjunto de datos en cuatro conjuntos de igual tamaño.
    • Ver Primera cuartila, mediana, tercera cuartila
  3. Representa el centro de masa de los datos.
  4. Su valor puede que no exista, puede que sea único o puede que tenga varios valores.
  5. Es la única medida de promedio que se puede usar cuando los datos no son numéricos.
  6. Su valor representa el número de desviaciones estándar y dirección a la que se encuentra el dato observado de su media.
  7. Es usualmente preferible usar esta estadística como medida de promedio cuando algunos datos tienen valores muy grandes o muy pequeños.
  8. Aproximadamente el 75% de los datos se encuentra a su derecha (son más grandes o iguales).
  9. >Es la cantidad que se le asignaría a cada observación si el total se repartiera en partes iguales entre ellos.
  10. Su valor no es afectado mucho cuando los datos contienen valores muy grandes o muy pequeños.
    • Ver mediana, amplitud intercuartila

II (10) Contesta las siguientes aseveraciones con cierto o falso:

  1. Existen distribuciones que no son normales donde la media, la moda y la mediana tienen el mismo valor.
    • Ver Cierto. Considera la función de probabilidad P(X=1) = .25, P(X=2) = .50, P(X=3) = .25. La moda, mediana y media es 2.
  2. Hay otras distribuciones simétricas además de la distribución normal.
    • Ver Cierto. Considera la función de probabilidad de arriba.
  3. No importa de cual distribución teórica provengan los datos observados, si el número de observaciones es "grande", la distribución de la media muestral es aproximadamente normal.
    • Ver Cierto. Esto es el Teorema del Límite Centrral. La clave aquí es una muestra grande y que estamos hablando de la distribución de la media muestral.
  4. Para demostrar que la media del peso de unos ratones es diferente a 5.5 g., una investigadora plantea las siguientes hipótesis: H0: µ = 5.5    Ha:µ ≠ 5.5. Las mismas son validas para el problema.
    • Ver Falso. Establecemos hipótesis para los parámetros poblacionales, tal como µ y sigma, nunca sobre las estadísticas o estimadores muestrales.
  5. Cuando el investigador no calibra la balanza en que pesara sus materiales esta cometiendo un error tipo II.
    • Ver Falso. Esto es un error sistemático cuya posibilidad de que ocurra puede eliminarse. Para que ocurra un error tipo II tenemos que tomar la decisión de no rechazar la hipótesis nula a pesar de que es falsa.

 III (45) En un censo que se hizo en el 1990, se descubrió que la media del precio para todos los textos de matemáticas era de $45.20. Para determinar si el precio de estos textos aumentó durante este año, una compañía tomó una muestra representativa de precios de textos. Los valores encontrados son los siguientes:

50 41 40 48 48 42 49 50
48 56 45 41 57 45 42 46
45 45 66 45 55 42 66 50
46 55 46 48 45 47 58 35

Nota:  

1. (5) Dibuja un diagrama de puntos de estos valores.

2. (16) Encuentra el valor de las siguientes estadísticas.

Valor mínimo Ver 35 Valor máximo Ver 66
Primera cuartila Ver 45 Tercera cuartila Ver 50
Mediana Ver 46.5 Amplitud Ver 31
Media Ver 48.19 Varianza Ver 48.67

 3. (5) Justo sobre el diagrama de puntos en le problema 2 arriba, dibuja un diagrama de caja y bigotes.

 

4. (5) Establece las hipótesis nula y alternativa en el problema.

  • H0: Ha:
    • Ver Partimos de la premisa que no ha habido cambio en la media del precio: H0: µ = $45.20, debemos demostrar que la media del precio aumentó:  Ha:   µ > $45.20

5. (5) Indica el número de desviaciones estándar al que se encuentra la media muestral de la poblacional.

Ver La media muestral está a (48.19 - 45.2)/SQRT(48.67/32) = 2.42 unidades (a la derecha) de la media poblacional.

6. (10) Indica si hay suficiente evidencia para determinar que la media del precio de los textos aumentó. Explica con UNA oración CORTA.

Ver Sí. Hay suficiente evidencia para concluir que la media de los precios de los textos aumentó, ya que la media de la muestra se encuentra a 2.42 desviaciones estándar a la derecha de la poblacional.

IV. (10) Establece (no basta con que la escribas) la fórmula para estandarizar a media muestral de x en el problema anterior.

Ver (media muestral de x - µ)/SQRT(s2/n).

 V (35) El Centro de Recursos Educativos de la UPR decidió establecer un nuevo currículo para las materias de ciencias y matemáticas en las escuelas intermedias publicas del país. Para probarlo selecciono 7 escuelas según la disponibilidad de los maestros de esas escuelas y la recomendación del Departamento de Educación. Luego de implantados los cambios, decidieron demostrar que esas escuelas son representativas del total de escuelas intermedias publicas del país. Utilizaron como criterio de representatividad el ingreso promedio de los padres de estudiantes que asisten a esas escuelas. Los resultados se resumen en la siguiente gráfica.

Distribucion de frecuencias de pobreza en escuelas publicas de PR

Los resultados indican que en las siete escuelas cerca del 72.5% de los estudiantes estaban bajo el nivel de pobreza, mientras que en la población de escuelas ese porcentaje es del 79.75%. La desviación estándar poblacional es de 7.8 puntos porcentuales. Su conclusión es que como el 72.5% se encuentra a menos de una desviación estándar de la media poblacional de 79.75%, entonces no hay diferencia significativa.

1. (5) Indica si el proceso de selección de la muestra fue uno científico. Explica BREVEMENTE.

Ver No. El procedimiento no fue uno científico, ya que no permite hacer inferencias válidas sobre la población. Una muestra seleccionada de esta forma se conoce cono muestra por cionveniencia y no necesariamente es representativa de la población. Para tener una buena posibilidad de que una muestra seleccionada sea representativa debe seleccionarse al azar, ya sea por muestreo simple, por conglomerado, estratificado,...

2. (5) Indica si el criterio de nivel de pobreza permite comparar académicamente escuelas. Explica BREVEMENTE.

Ver Usualmente se asocia el nivel de pobreza de los padres al de aprovechamiento académico de sus hijos, pero esta relación hay que demostrarla.

3. (5) Indica si es razonable seleccionar primero la muestra para luego demostrar que es representativa. Explica BREVEMENTE.

Ver De ninguna manera debemos seleccionar una muestra por conveniencia para entonces, luego de seleccionada querer demostrar es representativa. De cualquier manera, aunque resulte ser representativa, no es posible hacer inferencias válidas, estableciendo niveles de confiabilidad o significancia.

4. (5) Establece las hipótesis nula y alterna para este problema.
  • H0:
  • Ha: 

Ver Las hipótesis son: H0:  µ = 79.7% Ha: µ <> 79.7%

5. (5) Compara las características de la distribución de los niveles de pobreza en la población con la de la distribución normal. ¿Aparenta ser normal la distribución de los niveles de pobreza de las escuelas?

Ver No. La distribución de los niveles de pobreza no es simétrica, es sesgada hacia la izquierda, la moda no es igual a la mediana.

5. (10) A la luz de la formula que estableciste en el problema anterior, usa la media muestral, el tamaño de la muestra y la desviación estándar y media poblacionales para verificar si es correcto el procedimiento estadístico para determinar que no hay diferencia significativa en los niveles de pobreza de los estudiantes en las siete escuelas y en la población de escuelas. Justifica tu contestación.

Ver Para determinar si hay diferencia significativa entre la media de la muestra y la poblacional debemos estandarizar la primera, así:(72.5 - 79.7)/[7.8/SQRT(7)] = -7.25/2.95 = -2.45. Esto quiere decir que la media muestral se encuentra a 2.45 desviaciones est&aacutendar a la izquierda de la poblacional, lo que debe ocurrir en raras ocasiones cuando la media poblacional es verdaderamente 79.7. Por esta razón concluimos que hay una diferencia significativa entre los nivelede pobreza poblacionañes y los de la muestra. Las escuelas de la muestra tienen un nivel de pobreza promedio menor que los de la población. La conclusión del Centro es errónea.
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