Mate 3026

Primer semestre 2005-06

Tercer examen parcial (140)

I. (35) E l gobierno recopila información sobre la composición de hogares y familias. Un hogar consiste de todos los ocupantes de una unidad de vivienda, mientras que una familia consiste de dos o más personas que viven juntos y están relacionados por matrimonio o lazos de sangre. Así cada familia constituye un hogar, pero no todos los hogares constituyen familias. La siguiente tabla muestra la distribución porcentual del tamaño de familias y de hogares en los Estados Unidos.

A. Selecciona un hogar al azar. Sea H el número de personas que forma ese hogar. Sea F el número de personas que forma una familia seleccionada al azar. Encuentra:

1. P( H = 1 ) = Ver .25
2. P( 2 < H ≤ 5 ) = Ver .17 + .15 + .07
3. P( F > 5) =Ver P( F = 6) + P( F = 7) = .03 + .02
4. P( 1.5 ≤ H < 2) = Ver
   0. No hay ningún tamaño de hogar que contenga una (persona y media) y menos de dos.
5. La media del número de personas en los hogares, E(H) = µ Ver
   E(H) = ∑h P(H = h)
   = (1 × .25) + (2 × .32) + (3 × .17) + (4 × .15) + (5 × .07) + (6 × .03) + (7× .01) = 2.60 = µ
6. La varianza del número de personas en los hogares V(H) Ver
   V(H) = ∑[(h- µ)² × P(H = h) ]
   = (1- 2.6)² × .25 + (2- 2.6)² × .32 + (3- 2.6)² × .17 + (4- 2.6)² × .15 + (5- 2.6)² × .07 + (6- 2.6)² × .03 + (7- 2.6)² × .01

II. (20) Se usa un termómetro especial, graduado en grados Celsio para medir la temperatura T de la llama de un soplete (o de un "Bunsen Burner"). La media de la temperatura de la llama es E( T )= µ = 500° y la desviación estándar de T es σ = 0.4°, ambas en grados Celsio. Para publicación en un periódico de circulación general es necesario cambiar esta media y desviación estándar a grados Fahrenheit según la siguiente conversión: Grados Fahrenheit = (9/5) (Grados Celsio) + 32.

A. E ncuentra la media y desviación estándar de T en grados Fahrenheit.

Media: Ver
La nueva media es (9/5) ×500 + 32.

Desviación estándar: Ver
La nueva desviación estándar es (9/5) ×.4. La traslación de los datos o de la variable no afecta la relación de distancia entre ellos.

B. Estandariza la temperatura original en grados Celsio T . El resultado obtenido se llamará Z .

Z = Ver ( T - 500) ÷ .4

C. ¿ Qué significa un valor de Z igual a 1? Ver
El valor observado se encuentra a una desviación estándar a la derecha de su media.

III. (35) Dos máquinas se usan para producir tarjetas de memoria para computadoras. La máquina A produce el 60% de todas las tarjetas, mientras que la máquina B produce el 40%. El 5% de todas las tarjetas producidas por la máquina A son defectuosas, mientras que el 7% de las tarjetas producidas por la máquina B son defectuosas.

a. (5) D ibuja un diagrama de árbol que represente esta situación. Rotula claramente todos los nodos y las probabilidades asociadas. Ver

b. Se selecciona una tarjeta al azar de entre todas las producidas por ambas máquinas. Encuentra las siguientes probabilidades:

1. (5) la tarjeta fue producida por la máquina B.Ver
   Para contestar esta sólo hace falta leer el problema: Sean A, B los eventos de que la tarjeta fue producida por la máquina A o por la máquina B respectivamente. P(B) = .40
   
2. (5) la tarjeta es defectuosa si fue producida por la máquina A. Ver
   Sea D el evento de que la tarjeta es defectuosa y ND el evento de que la tarjeta no es defectuosa. Sabemos que fue producida por la máquina A. El 5% de esas tarjetas son defectuosas, por lo tanto, P( D | A) = .05. Al igual que arriba, sólo había que leer.
   
3. (10) la tarjeta es defectuosa.Ver
   Una tarjeta defectuosa puede venir de la máquina A o de la máquina B, com en la siguiente figura:
   
   así:
   P( D )
   = P[ (A y D) o (B y D)]
   = P(A y D) + P(B y D) (son mutuamente excluyentes)
   = P( D | A) × P( A ) + P( D | B) × P( B ) (definción de probabilidad condicional)
   = (.05 × .6) + (.07 × .4).
   
4. (10) la tarjeta fue producida por la máquina B si se encuentra que es defectuosa.Ver
   P(B | D)
   = P ( B y D ) ÷ P( D ) (definición de probabilidad condicional)
   = [P( D | B) × P( B )] ÷ P( D ) (definición de probabilidad condicional)
   = [P( D | B) × P( B )] ÷ [ P( D | A) × P( A ) + P( D | B) × P( B ) ] (usa el resultado en 3 arriba)
   = [.07 × .4] ÷ [.05 × .6 + .07 × .4]

IV. (25) S ea Z una variable aleatoria estándar normal y sea X una variable aleatoria con distribución normal, con media μ = 5 y desviación estándar σ = 2. Encuentra:

1. P( X = 5) Ver
   P( X = 5 ) = 0. Cualquier variable con distribución normal es continua y por la tanto la probabilidad de que sea igual a cualquier número particular es cero.
2. P( Z ≤ 1.71) = Ver Se lee directamente de la tabla. P( Z ≤ 1.71) = .9564
3. P( -1.43 < Z < .25) = Ver = P( Z ≤ .25) -P( Z ≤ -1.43) = .5987 - .0764
4. Un número a tal que P( Z > a ) = .25. Ver a = .67
5. P( -0.5 < X ≤ 7) = Ver
   = P[ (-.5 - 5)÷ 2 < (X - 5) ÷ 2 ≤ (7 - 5) ÷ 2]
   = P( -2.75 < Z ≤ 1) = P( Z ≤ 1) - P( Z ≤ -2.75)
   = .8413 - .0030