Mate 3026 Examen 4 (150)

Pruebas de hipótesis

ASEGÚRATE DE LEER LAS INSTRUCCIONES. Muestra todo tu trabajo. Indica claramente tu contestación. Puedes usar una calculadora que no sea gráfica, las tablas de las distribuciones normal y t así como las tablas con las fórmulas para pruebas de hipótesis e intervalos de confianza.

I) (24) Contesta las siguientes aseveraciones con (C) Cierto o (F) Falso.

II) (40) Tienes una muestra aleatoria de tamaño n de una población que tiene distribución normal. Prueba las siguientes hipótesis al nivel de significancia a . Indica claramente la estadística prueba usada, la zona de rechazo y la decisión tomada.

a) H₀ : μ = 60 vs. H_a : μ < 60, n = 64, = 57.6, σ = 5, α = .02.

Ver Conocemos la desviación estándar poblacional σ, por lo tanto usamos la prueba Z.
z = (57.6 - 60) / (5 / sqrt(64)) = -2.4 * 5 / 8 = -3.125. Se rechaza la hipótesis nula si z < -z_.02. De la tabla de la distribución normal estándar, obtenemos que z_.02 = 2.06. Como -3.125 < -2.06, rechazamos la hip[otesis nula al nivel de significancia del 2% y concluimos que la media poblacional debe ser menor de 60.

b) H₀: μ = -6.4 vs. H_a: μ ≠ -6.4, n = 40, = -7.5, s = 6, α = .05

Ver Aquí no conocemos la desviación estándar poblacional, por lo que debemos usar la prueba t.
t = (-7.5 - (-6.4)) / (6 / sqrt(40)) = -1.1 / .9487 = -1.1595. Esta prueba es de dos colas por lo que la zona de rechazo es |t| > t(39, .025) =2.021. Como |-1.1595| = 1.1595 no es mayor que el valor crítico 2.021, no podemos rechazar la hipótesis nula al 5% de significancia.

c) H₀ : b = .5 vs. H_a: b > .5, n = 400, valor p = .01, α = .025

Ver En este caso no hay que hacer casi nada, solo comparar el valor p con el nivel de significancia. Como el valor p = .01 < .025 = α, hemos observado un evento más raro que el máximo que estamos dispuestos a permitir (.025), por lo que rechazamos la hipótesis nula al nivel de significancia del 2.5% y conluimos que b > 5.

d) H₀: μ = 10.5 vs. H_a: μ < 10.5, α = .05

Ver Aquí no conocemos la desviación estándar poblacional, por lo que debemos usar la prueba t. Como sabes, el error estándar s/sqrt(n) es la desviación estándar del estimador en cuestión, en este caso la media. Así la estadística prueba t = (7.38 - 10.5) / 1.22 = -2.56. Esta prueba es de una cola por lo que la zona de rechazo es t < -t(8, .05) = -1.86. Como t = - 2.56 es menor que el valor crítico -1.86, no podemos rechazar la hipótesis nula al 5% de significancia.

III. (20) Una maestra quiere saber si los niños en su salón tienen una estatura promedio similar a la estatura promedio de 52.5 pulgadas según publicada en las guías escolares. Ella tomó los estudiantes de su clase, un total de 35, y midió su estatura. Obtuvo una media de 52 pulgadas y una desviación estándar de 1.5 pulgadas. En vez de hacer una prueba de hipótesis la maestra desea construir un intervalo de confianza de nivel 95% para la estatura promedio de los niños. Si el valor indicado por la guía se encuentra dentro del intervalo, ella concluirá que la estatura promedio de los niños de su salón no es distinta a la publicada en las guías. Construye el intervalo de confianza para la maestra. Los datos obtenidos se presentan aquí:

Ver No conocemos la desviación estándar poblacional. Así el intervalo de confianza para μ será ± t(34, .025) × s / sqrt(35). Sustituyendo en la fórmula, 52 ± 2.032 × 1.5 / sqrt( 35) ó, 52 ± .515. El intervalo es ( 51.485, 52.515).

IV) (16) Un investigador necesita conocer el tamaño de la muestra que debe tomar para estimar la media poblacional del largo de los gusanos en un sector de bosque Carite. Una publicación anterior publicó que en un bosque similar, el largo promedio de los gusanos allí encontrados es de 10.0 cm. con una desviación estándar de 0.5 cm. El investigador desea tener una confiabilidad de 99% y un margen de error de 0.1 cm. Encuentra el tamaño de la muestra que debe tomar.

Ver El margen de error es ME = z_.005 × σ / sqrt(n). Por lo tanto, resolviendo para n, n = [z_.005 × σ / ME ]² = [2.57 × .5 / .1]² = 165.1225 y se toma el entero mayor, por lo tanto n = 166.