Ley débil de números grandes

Un experimento consiste en lanzar una moneda al aire 1,000 veces. En cada ocasión se anota el resultado obtenido y se calcula la proporción de veces que se ha observado cara, como indica la tabla siguiente:

En la tabla arriba se anotó el número 1 (uno) si se observó una cara y 0 (cero) si se observó una cruz. En cada tirada de la moneda en este experimento se observa uno de los dos posibles valores { 0, 1 }, de una variable aleatoria X. Si la moneda no está cargada, la variable aleatoria X tiene una distribución de probabilidad dada por P(X = 1) = P(X = 0) = ½ (Distribución de Bernoulli).

Para un n fijo, se suman los distintos valores observados de X y se obtiene el total de caras observadas en esas n tiradas, Y = ΣX. La variable Y es entonces una variable aleatoria con distribución binomial con parámetros n, p = ½. Teóricamente, la variable Y tiene una media poblacional de p = .5 y una varianza poblacional dada por κ² = np(1 - p).

La proporción de caras observadas es entonces: f = total de caras observadas dividido por el número total de tiradas. Escrito de otra forma, f = Y/n = ΣX / n. La variable f es simplemente la media de la muestra de los valores observados de X. Teóricamente, la variable f tiene una media poblacional de p = .5 (uno esperaría observar cara en la mitad de las tiradas) y una varianza poblacional dada por θ² = p(1 - p)/n. Esta varianza se hace menor a medida que el número de tiradas n aumenta y en el límite, tiende a cero.

La siguiente gráfica muestra la sucesión de valores de f obtenidos en cada uno de tres experimentos donde se lanzó la moneda un total de 1,000 veces. La gráfica destaca la gran variabilidad que tiene f para valores pequeños de n y como esa variabilidad se hace cada vez más pequeña a medida que n aumenta (las gráficas se acercan más a la línea correspondiente a la media poblacional de f). También destaca que no importa como comience el valor de f, tarde o temprano, a medida que n aumenta, f se acercará al valor de la media poblacional, .5.

Teóricamente la Ley Débil de Números Grandes dice:

Sea X₁, X₂, ..., X_n una sucesión de variables aleatorias, cada una con media poblacional μ y varianza
σ² < ∞. Sea la media muestral de X₁, X₂, ..., X_n, y el número ε > 0, entonces lim P( | - μ | < ε ) = 1 cuando n tiende a infinito.

Esto quiere decir que la media muestral converge en probabilidad a la media poblacional μ. La convergencia aquí no es de variables aleatorias, sino de números correspondientes a probabilidades, pues arriba se toma el límite luego de calcular la probabilidad. El límite se toma sobre la sucesíón de probabilidades, calculada cada una de ellas para cada valor de n.

La Ley de números grandes indica que la probabilidad de encontrar a la media muestral cerca de la media poblacional μ se acerca a 1 (uno) a medida que el tamaño de la muestra aumenta. Por lo tanto, para un valor grande de n, es muy probable encontrar a cerca de μ y por lo tanto, muy poco probable encontrar a lejos de μ. Una ilustración de esta ley puede verse en la gráfica arriba, ya que los valores observados de f se acercan a .5 a medida que el número de observaciones aumenta (las tres gráficas se acercan a la línea roja), haciendo que la probabilidad de que f esté cerca de μ se acerque a 1.

La ley débil de números grandes se demuestra usando la desigualdad de Chebyshev.

Hoja de Excel y pdf con simulaciones:

• Tres experimentos de mil tiradas de una moneda cada uno, en forma de serie (.4MB)
• Convergencia de la media simulada con 100 muestras de tamaño n = 5, 25 ,50, 100, 1,000 (2.2MB)
• Teorema del límite central, 100 medias con tamaño n = 5, 25, 50, 100, 1,000 (.1MB)
• Gráficas de convergencia (de los tres documentos arriba) pdf